Théorème de Gauss

Théorème de Gauss

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) , \(b \in \mathbb{Z}\) et \(c \in \mathbb{Z}\) non nuls.

Si \(a\) divise \(bc\) et si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, alors \(a\) divise \(c\) .

Démonstration

Comme \(a\) divise \(bc\) , il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(bc=ka\) .

Comme \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout, il existe \((u;v) \in \mathbb{Z}^2\) tel que \(au+bv=1\) . En multipliant cette égalité par \(c\) , on obtient :  \(\begin{align*} acu+bcv=c & \ \ \Longleftrightarrow \ \ acu+kav=c \ \ \Longleftrightarrow \ \ a(cu+kv)=c \end{align*}\)  avec \(cu+kv \in \mathbb{Z}\) , donc \(a\) divise \(c\) .